| Retour page animations | Le problème d'Apollonius |
Etant donné trois cercles, construire tous les cercles tangents à ces trois cercles...
En premier lieu, voici une figure active de la solution :
les trois cercles bleus sont les cercles de base et sont modifiables (par le centre ou le cercle lui-même). Combien y a-t-il de solutions ?
Et voici une démarche de solution :
1. Centre d'homothéties de deux cercles :
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On se donne deux cercles de centre O et O' et on cherche les centres d'homothéties I et J transformant un cercle en l'autre ; les points I et J sont sur la droite (OO') ; pour les construire, il suffit de prendre un point A sur un des deux cercles et trouver son image A' ou A" sur l'autre cercle ; Objets déplaçables : les deux cercles, leur centre et le point A |
2. Puissance d'un point par rapport à un cercle :
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On considère un cerlce de centre O et de rayon r, et un point A du plan; une droite passant par A coupe le cercle en deux points P et Q ; alors, quel que soit la position de cette droite, le produit des distances APxAQ est constant ; si A est extérieur au cercle, une des deux tangentes au cercle passant par A coupe le cercle en T ; on a APxAQ = AT²= puissance de A par rapport au cercle = p(A). si A est intérieur au cercle, alors -APxAQ = OA² - r² = puissance de A par rapport au cercle = p(A). Objets déplaçables : le cercle, son centre, le point A et le point P. |
3. La ligne radical de deux cercles :
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On se donne deux cercles de centre O et O' et on cherche les points ayant même puissance par rapport aux deux cercles ; l'ensemble de ces points est une droite appelée ligne radical. Objets déplaçables : les deux cercles, leur centre et le point A. |
4. Le centre radical de trois cercles :
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On se donne trois cercles de centre O1, O2 et O3; les lignes radicales des cercles pris deux à deux sont concourantes en un point R appelé le centre radical des trois cercles. Objets déplaçables : les trois cercles, leur centre et les points P, P', P". |
5. Vers une solution du problème d'Apollonius :