Ces exercices sont issues de devoir en classe ou à la maison donnés dans les années 2000, 2001, 2002; certains demandent de la réflexion. Le plus simple est de les imprimer et de travailler tranquillement sur papier. Les corrigés suivront...

EXERCICE 1 : ABCD est un carré de côté 1. M est un point de la droite (BD). Q et P sont les projections orthogonales de M respectivement sur les côtés [AB] et [AD].
a) Montrer que .
b) Montrer que .
c) En déduire que les droites (MC) et (PQ) sont perpendiculaires.
d) Les droites (BC) et (PQ) se coupent en E. Montrer que (ME) et (QC) sont perpendiculaires.

EXERCICE 2: Dans un repère orthonormé, on considère les points A et B définis par et .
a)Déterminer une équation du cercle (C) de centre A et de rayon 2.
b) Soit E un point de (C) d'abscisse égale à -2 ; déterminer une équation de la médiatrice de [OB] et une équation de la médiatrice de [OE]. En déduire les coordonnées du point W centre du cercle (C') circonscrit au triangle OBE.
c) Déterminer une équation de ce cercle (C').
d) Montrer que la droite (AE) est tangente au cercle (C').
e) Montrer que = AW² - EW² = AE² (on pourra utiliser le milieu de [OB]).

EXERCICE 3: Dans un repère orthonormé , on considère les points A(x ; 0), B(0 ; 3) et C(0 ; -3) avec x > 0. On considère le cercle (C) inscrit dans le triangle ABC de centre W. Déterminer le rayon du cercle (C) en fonction de x et déterminer sa limite lorsque x tend vers +.

EXERCICE 4: Soit O le milieu d'un segment [AB]. Montrer que pour tout point M du plan, on a = OM² - 14 AB² . En déduire, en fonction des valeurs de k, l'ensemble des points M du plan tels que = k.

EXERCICE 5: [AB] est un segment de 6 cm et C est un point de la médiatrice de [AB] tel que AC = 5 cm. I est le milieu de [AB]. a) Calculer et ; en déduire une mesure des angles ^BAC et ^ABC. b) G étant le centre de gravité du triangle ABC, calculer (on pourra introduire le point I). c) En déduire une mesure de l'angle ^AGB.

EXERCICE 6: Dans un repère orthonormé, on considère les points A (1 ; 2), B(-4 ; 2) et C(0 ; -2) .
a)Montrer que les droites (OA) et (OB) sont perpendiculaires.
b) Déterminer une équation de la médiatrice de [AB] et une équation de la médiatrice de [AC].
c) En déduire les coordonnées du point W centre du cercle (C) circonscrit au triangle ABC. Préciser le rayon de ce cercle.
d) L'axe des ordonnées coupe le cercle en C et D. Déterminer les coordonnées du point D.
e) Montrer que la droite (d) d'équation y = - 5 x + 7 est tangente au cercle (C) en A.
f) Le point E est le point d'intersection des droites (AB) et (CD). Montrer que = EW² - AW² .

EXERCICE 7: a) Construire le triangle ABC tel que AB = 4, AC = 6 et BC = 7 .
b) Placer les points I, milieu de [AB], J milieu de [BC] et G centre de gravité du système de points pondérés {(A ;1), (B ;2), (C ;1)}.
c) Construire l'ensemble des points M du plan tel que = 0 .
d) Construire l'ensemble des points N du plan tel que = 0 .
e) Construire l'ensemble des points P du plan tel que |||| = || || .
f) Montrer que pour tout point M du plan , on a = MI² - 1/4 AB² . En déduire l'ensemble des points tel que = 34 AB² .
g) Construire l'ensemble des points R du plan tel que soit colinéaire à . Corrigé

EXERCICE 8: On considère le repère orthonormé et les points A(2 ; 0), B(-2 ; 2) et C(3; 2).
a) Calculer le produit scalaire . Que peut-on en déduire pour le triangle ABC ?
b) Déterminer les coordonnées du centre de gravité G du triangle ABC.
c) On considère l'homothétie h de centre G et de rapport -1/2 . Montrer que les images par h des points A, B et C sont les milieux des côtés de ABC. Montrer que les images par h des hauteurs sont les médiatrices de ABC.
d) Déterminer les coordonnées du centre du cercle (c) circonscrit à ABC.
e) Déterminer l'équation du cercle (c).
f) Déterminer une équation du cercle image de (c) par l'homothétie h . Corrigé

EXERCICE 9: ABC est un triangle rectangle en A, I et J sont les milieux des côtés [AB] et [AC], et H est le projeté orthogonal de A sur [BC]. Le but de l'exercice est de démontrer que les droites (HI) et (HJ) sont orthogonales par 4méthodes différentes : Méthode 1 : Montrer que = = = - AH² . En déduire que = 0 ; conclure. Méthode 2 : On considère un repère orthonormé , d'axes (AB) et (AC), et on pose B( b ; 0) et C(0 ; c ) . Calculer les coordonnées des points I, J et H en fonction de b et c . En déduire que = 0 ; conclure. Méthode 3 : Justifier que le cercle circonscrit au triangle AIJ passe par le milieu K de [BC] et par H ; conclure. Méthode 4 : Exprimer les longueurs HI, HJ et IJ en fonction des longueurs du triangle ABC ; conclure.

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