Ces exercices font partie de devoirs donnés en classe durant l'année 2002 - 2003 ; ils sont tous corrigés, ces corrigés sont au format PDF :

Exo 1 : (Transformation du plan, étude de fonction, étude d'une suite, variations, convergence)
ABCD est un carré de côté 1 et I est le barycentre du système de points pondérés {(A,1) ;(D,3)}. M est un point de la droite (AB). Lorsque les droites (BI) et (CM) sont sécantes, on note P leur point d’intersection, et H le projeté orthogonal de P sur la droite (AD) ; le point M’ est le point d’intersection de (AB) avec la parallèle à (BD) passant par H.
A. Etude de la transformation qui à M associe M’ :
1) Montrer qu’il existe un unique point M de (AB) pour lequel M’ n’est pas défini ; on note R ce point.
2) On désigne respectivement par t et t’ les abscisses des points M et M’ dans le repère (A, ).
a) Démontrer que .
b) Déterminer les points M de (AB) tels que M = M’. ( On appellera E celui qui appartient à [AB] et F l’autre).
c) Déterminer les points M de (AB) tels que M’ appartient à [AM].
3) a) Etudier les variations de la fonction f définie sur IR \ {7/3} par f(t) = et calculer ses limites aux bornes de son ensemble de définition.
b) Tracer la courbe représentative de f dans un repère orthonormal (unité 5 cm), en précisant ses asymptotes et ses éléments de symétrie.
c) Résoudre graphiquement les inéquations et retrouver le résultat de la question 2)c).
d) Démontrer que si M appartient à [AB] alors M’ appartient à [AB].

B. Etude d’une suite :
On s’intéresse à la suite de points (A_n) du segment [AB] définie par : A₀= A et pour tout entier naturel n , A_n+1 est le point M’ obtenu à partir du point M = A_n. On désigne par t_n l’abscisse du point dans le repère (A, ). Ainsi, pour tout entier naturel n , on a .
1)a) En utilisant le droite d’équation y = x et la courbe C_f, représenter sur l’axe des abscisses les cinq premiers termes de la suite (t_n).
b) La suite est-elle monotone ? Justifier la réponse. Faire une conjecture sur la convergence de cette suite.
2) a) Démontrer que la suite (u_n)définie par est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.
b) Exprimer u_n, puis t_n en fonction de n .
c) La suite (t_n)converge-t-elle ? Si oui, donner sa limite. Interpréter ce résultat géométriquement.
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Exo 2 : ( Etude des variations et de la convergence d'une suite, suite auxiliaire, suite géométrique )
On considère la suite (u_n) numérique définie par u₀ = 1/2 et .
a) Démontrer par récurrence que, pour tout entier n supérieur ou égal à 1, on a 1 < u_n < 3 .
b) Montrer que la suite (u_n) est croissante. La suite converge-t-elle ?
c) On considère la suite numérique (v_n) définie pour tout entier naturel n par . Démontrer que la suite (v_n) est géométrique et préciser sa raison et son premier terme.
e) Quelle est la limite de la suite (v_n) ?
f) Exprimer, pour tout entier naturel n , u_n en fonction de n .
g) En déduire le comportement de (u_n) lorsque n tend vers l’infini.
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Exo 3 : ( Etude des variations et de la convergence de deux suites, suite auxiliaire, suites adjacentes )

On considère deux réels a et b tels que 0 < a < b, et les deux suites (u_n) et (v_n) définies par u₀ = a, v₀ = b, et ;
(rappel : u_n+1 est la moyenne harmonique de u_n et v_n; v_n+1 est la moyenne arithmétique de u_n et v_n ) .
Le but du problème est de montrer que les deux suites sont adjacentes, de trouver leur limite commune et d’en déduire des approximations de réels par des rationnels.
a) Montrer que, pour tout entier naturel n, u_n et v_n sont strictement positifs.
b) Montrer que, pour tout entier naturel n, u_n < v_n .
c) Montrer que, pour tous réels x et y tels que 0 < x < y , on a . En déduire que .
e) Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel n > 0, on a .
f) En déduire la limite de v_n - u_n .
g) Montrer que les suites (u_n) et (v_n) sont adjacentes.
h) Montrer que, pour tout entier naturel n, le produit u_nv_n est constant. En déduire la limite des suites (u_n) et (v_n) .
i) Donner alors un encadrement de par deux rationnels au cent millième près.
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Exo 4 : ( Etude des variations et de la convergence de deux suites, suites auxiliaires, suites adjacentes )
On considère les deux suites (u_n) et (v_n) définies par u₀ = 0 , et v₀ = 2, ;
a) On considère la suite (s_n) définie par s_n = u_n + v_n . Montrer par récurrence que la suite est constante .
b) On considère la suite (d_n) définie par d_n = v_n - u_n. Montrer que la suite est une suite géométrique dont on donnera la raison et le premier terme.
c) En déduire .
d) Ecrire en fonction de s_n et de d_n , puis en fonction de n . Ecrire v_n en fonction de s_n et de d_n , puis en fonction de n . En déduire la limite de u_n et celle de v_n .
e) Les suites (u_n) et (v_n) sont-elles adjacentes ?
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Exo 5 : (Etude d'une suite d'intégrales, étude de fonction, convergence de suite ) On considère la suite (u_n) définie sur IR par et pour n supérieur ou égal à 1, .
a) Soit f la fonction définie sur [0 ; 1] par . Calculer f ‘ (x) et en déduire u₀.
b) Calculer u₁.
c) Pour tout entier n supérieur ou égal à 1 et pour tout x de [0 ; 1], comparer xⁿ et xⁿ⁺¹ . En déduire que la suite (u_n) est décroissante.
d) Démontrer que, pour tout x de [0 ; 1], .
e) En déduire que, pour tout entier n supérieur ou égal à 1, .
f) En déduire que (u_n) converge et déterminer sa limite.
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Exo 6 : (Etude d'une suite d'intégrales, étude de fonction, calcul des premiers termes de la suite ) On considère la fonction f définie sur ]0 ; + [ par .
1. Déterminer les limites de f en 0 et en +.
2. Calculer la dérivée de f et déterminer son sens de variations sur ]0 ; + [.
3. Tracer la représentation graphique de f dans le plan.
4. On pose, pour p supérieur ou égal à 1, . A l’aide d’une intégration par parties, calculer la valeur exacte de I₁ .
5. Montrer que, pour p supérieur ou égal à 1, . En déduire les valeurs exactes de I₂ , I₃ , I₄ .
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Exo 7 : Pour n entier naturel non nul, soit la fonction f_n définie sur I = [0 ; + [ par . On considère un réel a de I et on pose, pour tout entier naturel n, .
1. Calculer I₀(a).
2. a) Montrer que, pour tout x de I et pour tout n entier naturel non nul : f_n'(x) = f_n-1(x) - f_n(x) et f_n(0) = 0.
b) En déduire que, pour tout n entier naturel non nul : I_n(a) - I_n-1(a) = .
c) En déduire que, pour tout n entier naturel non nul : I_n(a) = 1 - .
3. Dans cette question, on pose a = 1. On appelle (u_n) la suite numérique définie pour tout entier naturel n par : .
a) Montrer que, pour tout entier naturel n, et pour tout x de [0 ;1] : .
b) En déduire l’encadrement pour tout entier naturel n : puis la limite de (u_n) .
c) Déduire enfin que = 1 +
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