EXERCICE 1: On considère la fonction f définie par f(x) = et (C) sa courbe représentative.
a) Préciser l’ensemble de définition de la fonction f .
b) Déterminer les réels a, b, c, d tels que f(x) = .
c) Soit (d) la droite d’équation y = x + 1 ; en étudiant le signe de f(x) - (x + 1) , déterminer la position de la courbe (C) par rapport à la droite (d).
d) Soit (d’) la droite d’équation y = 4x - 6 ; déterminer les abscisses des points d’intersection de (C) et de (d’).

EXERCICE 3 : a) On considère la fonction f définie sur IR par  f(x) = a x³ + bx² + cx + d et (C) sa courbe représentative. Cette courbe passe par les points I(1 ;0), J(0 ;1), A(2 ;5) et B(- 1 ; - 4) . Déterminer alors a, b, c, d.
b) Préciser, par lecture graphique les variations de f .
c) Déterminer les abscisses des points d’intersection de (C) et l’axe (Ox).
d) Représenter graphiquement la fonction v définie par v(x) = | f(x) | .
e) On s’intéresse à la partie de la courbe située sur l’intervalle [0 ; 1].
On pose g la restriction de f à l’intervalle [0 ; 1 ]. Représenter graphiquement chacune des fonctions h, k, l suivantes :
h(x) = - g(x) ; k(x) = g(- x ) ; l(x) = - g( - x) .

EXERCICE 4 : On considère la fonction f définie sur IR et les fonctions g , h , k définie par : g(x) = f(x - 5) - 2 ; h(x) = - f(x) et
k(x) = f(- x) . Préciser les transformations utilisées pour passer de la courbe C_f à chacune des courbes C_g , C_h , C_k .

EXERCICE 6 : Sur la branche de l’hyperbole d’équation y = 1/x  avec x > 0, on place les points M et N d’abscisses respectives x et x + 1. Les points M et N se projettent orthogonalement sur l’axe des abscisses en m et n ( d’un repère orthonormal). Calculer l’aire de chacun des triangles OMm et ONn. Montrer que le trapèze MNnm et le triangle OMN ont la même aire. Soit S la fonction qui à x associe l’aire du triangle OMN. Déterminer les limites de S en 0⁺ et en + infini . Corrigé

EXERCICE 7 : On considère la fonction f définie par f(x) = et C_f sa courbe représentative dans un repère (O;i ,j ) .
1. Préciser l’ensemble de définition D_f de la fonction f .
2. Déterminer les réels a, b et c tels que f(x) = .
3. Déterminer les limites de f aux bornes de l’ensemble D_f . Préciser les asymptotes éventuelles à C_f .
4. Montrer que la droite (d) d’équation y = 2x - 2 est asymptote oblique à la courbe C_f .
5. On considère les points M et P d’abscisse x , M sur C_f et P sur (d).
Déterminer le plus petit entier n tel que MP < 10^-3 .
6. Résoudre l’équation f(x) = 5.

EXERCICE 8 : On considère la fonction f définie par f(x) = . Préciser l’ensemble de définition D de f .
a) Etudier la parité de f .
b) Déterminer les limites de f aux bornes de son ensemble de définition D.
Préciser les éventuelles asymptotes à la courbe (C) représentative de f .
c) Montrer que f(x) =. En déduire que pour tout x de D, -1 <= f(x) <= 1. -1 est-il le minimum de f ? 1 est-il le maximum de f ?
d) Déterminer la fonction dérivée de f . Déterminer l’équation de la tangente à (C) au point d’abscisse 1 . Corrigé

EXERCICE 9 : On considère la fonction h définie sur ]0 ; +infini [ par h(x) =1/x , et (H) sa représentation graphique dans un repère (O;i ,j ). Soit M le point de (H) d’abscisse a > 0.
a) Déterminer l’équation de la tangente (T) à (H) en M.
b) Cette tangente coupe l’axe des abscisses en D et l’axe des ordonnées en C. Déterminer les coordonnées de C et D.
c) Montrer que, pour tout a > 0, l’aire du triangle OCD est égale à 4.
d) Déterminer l’équation de la normale (N) à (H) en M.
e) Pour tout a différent de 1, F est le point d’intersection de cette normale (N) et de la droite (d) d’équation y = x. Pour a = 1, F a pour coordonnées (2 ; 2). Montrer que l’abscisse de F est (a²+1)/a.
f) Montrer que, pour tout a > 0,le produit scalaire DF.CF= 0 . Que peut-on en déduire ? Corrigé

EXERCICE 10 : On considère la fonction f définie sur IR par f(x) = .
a) Etudier la parité de f . Que peut-on en déduire pour la courbe (C) représentative de f  ?
b) Déterminer les limites de f aux bornes de son ensemble de définition. Préciser les éventuelles asymptotes.
c) Déterminer la dérivée de f . Dresser le tableau de variations de la fonction f .
d) Montrer que (C) coupe la droite (d) d’équation y = x en trois points. Préciser la position de (C) par rapport à (d).
e) On considère la fonction g définie sur IR par g(x) =| f(x) |.
Exprimer la quantité . La fonction g est-elle dérivable en  0 ? Corrigé

EXERCICE 11 : ABCDEFGH est un cube d’arête 1 ; on considère le repère orthonormal de l’espace (A ;AB ,AD ,AE );  soit I le milieu de [EH] et R le point d’intersection des droites (EG) et (FI) ; soit J le milieu de [CG] et S le point d’intersection des droites (CH) et (JD). Faire une figure. Déterminer la distance RS. Soit M un point variable du segment [GH] ; on pose HM = x . Exprimer la distance RM + MS en fonction de x. Pour quelle valeur de x cette distance est-elle minimale ? Corrigé

EXERCICE 12 : On considère sur ] -1 ; 1 ] les fonctions f, g, h définies par : f(x) =1/(1+x) , g(x) = 1 - x , h(x) = 1 - x + x² . Représenter les trois courbes C_f C_g C_h dans un même repère. Etudier le signe des différences f - g , h - f . En déduire une comparaison des fonctions f, g, h sur ] -1 ; 1 ] .
En déduire les 15 premières décimales de 1/(1 + 10^-8) .

EXERCICE 13 : Soit OAB un triangle rectangle en O et H le projeté orthogonal de O sur (AB).
Montrer que 1/OH²= 1/OA²+1/OB² .
On considère le tétraèdre trirectangle OABC, c’est-à-dire que les triangles OAB, OAC et OBC sont rectangles en O.
Démontrer que le point H projeté orthogonal de O sur le plan (ABC) est l’orthocentre du triangle ABC.
En déduire que 1/OH²= 1/OA²+ 1/OB²+ 1/OC².On considère maintenant que OA = OB = 1 et OC = x > 0. Déterminer la longueur OH en fonction de x .
Montrer que pour tout x > 0, OH < . Corrigé

 EXERCICE 14: On considère la fonction f définie par f(x) = . Préciser l'ensemble de définition Df de f .
a) Vérifier que, pour tout x de Df , f(x) peut s'écrire .
b) Déterminer la fonction dérivée de la fonction f et étudier son signe.
c) Déterminer les valeurs exactes des extremas locaux de la fonction f , sur chacun des intervalles ] - ; 1 [ et ] 1 ; + [ .
d) Dresser alors le tableau de variations de la fonction f .
e) Déterminer l'équation de la tangente à la courbe Cf , représentative de la fonction f , au point d'abscisse 0.
f) On considère la droite (d) d'équation y = x + 4 ; étudier la position relative de Cf et (d) .
g) Préciser les coordonnées des points d'intersection de Cf avec l'axe des abscisses.

EXERCICE 15 : On considère le rectangle ABCD tel que AB = 1 et AD = 2 ; I est le milieu du segment [AB]. M est un point quelconque du segment [AD], et on pose AM = x et f (x) = MI² + MC² .
a) Montrer que f (x) = 2 (x - 1)² + 134 . En déduire le tableau de variations de f .
b) Calculer IC². Déterminer x pour que le triangle IMC soit rectangle en M.
c) Expliquer alors la construction du ( ou des) point(s) M et faire une figure.
d) La médiatrice de [IC] coupe (AD) en K. Déterminer la longueur AK.
e) Déterminer x pour que MI > MC.
f) Déterminer les nombres dérivés de la fonction f pour x = 1 et x = 0. Corrigé

EXERCICE 16 : On considère la fonction f définie par f(x) = . Préciser l'ensemble de définition Df de f .
a) Déterminer la fonction dérivée de la fonction f et étudier son signe.
b) Déterminer les valeurs exactes des extremas de la fonction f sur IR .
c) Dresser alors le tableau de variations de la fonction f .
d) Déterminer l'équation de la tangente à la courbe C_f , représentative de la fonction f , au point d'abscisse 0.
e) Déterminer le(s) antécédent(s) de -1 par f .
f) Préciser les coordonnées de(s) point(s) d'intersection de C_f avec l'axe des abscisses.

EXERCICE 17 : Dans un repère orthonormé , on considère l'hyperbole H d'équation y = 1/x , et les points A(1 ; 1) et B( -1 ; -1). On considère un point M de l'hyperbole H distinct de A et B, d'abscisse m .
a) Déterminer l'équation de la hauteur issue de A et l'équation de la hauteur issue de M dans le triangle ABM. Soit K le point d'intersection de ces deux hauteurs. Déterminer les coordonnées de K et montrer que K appartient à H.
b) Montrer que les coordonnées de W, centre du cercle C circonscrit au triangle ABM, sont . c) Dans cette question, on prend m = 3. Déterminer l'équation du cercle C . Question subsidiaire : En utilisant le changement de variable X = x + 1/x , déterminer les coordonnées du quatrième point d'intersection de C et de H.

EXERCICE 18 : Cet exercice donne une généralisation d'une partie de l'exercice précédent : Dans un repère orthonormé , on considère l'hyperbole H d'équation y = 1/x , et les points A, B et C distincts appartenant à H , d'abscisses respectives a, b, c . Déterminer les coordonnées de l'orthocentre K du triangle ABC, en fonction de a, b, c et vérifier qu'il appartient à l'hyperbole H . Corrigé

EXERCICE 19 : On considère la fonction h définie sur IR \ {1} par h(x) = et H sa représentation graphique dans un repère orthonormé .
a) Etudier les limites de h aux bornes de son ensemble de définition. Préciser les équations des asymptotes à H.
b) Etudier les variations de h et dresser son tableau de variations.
c) Déterminer une équation de la tangente (T) à H au point A d'abscisse 2.
d) On considère la fonction f définie sur IR par f(x) = ax² + bx -1 où a et b sont des réels. On appelle P sa représentation graphique dans le repère orthonormé . Déterminer les réels a et b pour que H et P aient la même tangente en A.
e) Déterminer alors les limites de f en + et en - .
f) Dresser le tableau de variations de f . g) Représenter (T), H et P dans le même repère. Résoudre graphiquement l'inéquation f(x) < h(x). Corrigé

EXERCICE 20: On considère la fonction f définie sur IR\{1} par f(x) = . a) Vérifier que f(x) = .
b) Déterminer les limites de la fonction f aux bornes de son ensemble de définition. Préciser les éventuelles asymptotes à la courbe Cf représentative de la fonction f .
c) Montrer que la droite (d) d'équation y = x - 2 est asymptote oblique à la courbe Cf .
d) Déterminer la dérivée de f et étudier les variations de f . Dresser le tableau de variations de f .
e) Déterminer la position relative de la courbe Cf et de la droite (d).
f) Préciser les abscisses des points d'intersection de la courbe Cf avec l'axe des abscisses.
g) Y a-t-il une ou des tangentes à la courbe Cf parallèle à la droite (d) ? Si oui, préciser en quels points .
h) Déterminer les coordonnées du point d'intersection des tangentes à Cf aux points d'abscisses 1/2 et 2 .
i) Représenter, dans un repère orthonormé , la courbe Cf , les asymptotes et les tangentes des questions précédentes . Corrigé

EXERCICE 21 : On considère la fonction g définie sur [0 ; 2] par g(x) = et Cg sa courbe représentative dans un repère orthonormé . a) En posant y = g(x) et en calculant y² , montrer que la courbe Cg est un demi-cercle dont on précisera le centre et le rayon.
b) Calculer . En déduire si la fonction g est dérivable en 2.
c) Déterminer la dérivée de g et dresser son tableau de variations .
d) On considère la fonction h définie sur IR par h(x) = 13 x³ - 2x² + 3x - 13 et Ch sa représentation graphique dans le repère . Déterminer les limites de h en +et en - .
e) Etudier les variations de h . Dresser son tableau de variations.
f) Préciser le point où Ch et Cg ont une tangente (T) commune.
g) Représenter, dans le repère , les courbes Ch et Cg ainsi que la tangente (T). Corrigé

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